Llamamos función al término matemático usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades(por ejemplo, cantidades de X y cantidades de Y) . Se llama función porque para un numero X, “Y” cambia de valor en “función” del que se le da a X.
Cuando las relaciones tienen una característica especial, como leyes que a cada elemento del primer conjunto le corresponde un único elemento del segundo conjunto.
NO SE CUMPLE LA FUNCION, PORQUE UN ELEMENTO DEL PRIMER CONJUNTO ESTA RELACIONADO CON DOS ELEMENTOS DEL SEGUNDO CONJUNTO. EJEMPLO:
TAMPOCO SE CUMPLE CON LA FUNCION SI TRAZO UNA LINEA Y ESTA CORTA MAS DE UNA VES LA CURBA. EJEMPLO:
SI SE CUMPLE LA FUNCION PORQUE LA LINEA CORTA SOLAMENTE UNA VES LA CURBA. EJEMPLO:
Valor absoluto
El valor absoluto o módulo de un número, constituye la distancia de un punto a al origen. En la recta que se muestra a continuación la distancia del 3 al origen (0) es 3. De igual forma la distancia del punto -3 al origen (0) también es 3. Esto se apuntaría de la siguiente forma:
│-3│=3
Las barras son leídas como el valor absoluto de lo que está dentro. Sin importar en cual de los lados de la recta real se representa el número. Metódicamente podemos ver que si a es positivo, o sea si se encuentra a la derecha de cero, entonces,
│a│=a
Mientras que si se encuentra a la izquierda del origen, es decir si a es negativo, tenemos que,
│a│=-a
Lo escribimos de este modo,
El valor absoluto de un número real x, es definido como:
Veamos algunos ejemplos
Podemos observar como el valor absoluto a una cantidad positiva permanece igual mientras que a una cantidad negativa le cambia el signo.
La expresión a la cual le estamos tomando valor absoluto es de signo positivo por lo cual el valor absoluto queda igual. Aquí se utilizó la primera parte de la definición.
Si la expresión a la cual le estamos hallando valor absoluto es de signo negativo, el valor absoluto cambiará el signo. Aquí se utiliza la segunda parte de la definición.
Ecuaciones con valor absoluto
Si x es una incógnita en la expresión, entonces no se sabe si x-3 es positivo o negativo. Pero si tenemos la ecuación:
│x-3│=5
Debemos tomar en cuenta las dos posibilidades que tenemos de signo, por lo cual hay dos opciones,
1) x-3=5
2) x-3=-5
La primera opción se da en el caso en que x-3 sea positivo, la segunda opción se da en caso que sea negativo.
Si resolvemos la ecuación tenemos que:
1) x=8
2) x=-2
Consecuentemente estos valores de x satisfacen la ecuación:
│x-3│=5
Las propiedades fundamentales del valor absoluto son:
a) No negatividad
b) Definición positiva
c) Propiedad multiplicativa
d) Propiedad aditiva
Valor absoluto de un número complejo
Un número complejo corresponde a la suma de un número real y un número imaginario. No representan un conjunto que se conforma por una relación binaria de orden parcial en el sentido de los números reales, por lo cual se puede decir que los números complejos no conforman un conjunto ordenado. Se utiliza para este caso una nueva identidad que proporcione entonces otra opción para la definición de valor absoluto si hablamos de complejos. Entonces:
para cualquier número complejo de la siguiente forma,
con x e y como números reales, el valor absoluto de z se define de esta manera:
AHORA VAMOS HACER UN EJERCICIO Y GRAFICARLO:
se crea una tabla de valores, se resuelve y se unen los puntos, ahi queda formado el ejercicio del valor absoluto, que parte desde su ordenada al origen que es = 1
Signo
La función signo es una función definida a trozos o función por partes, la cual es representada habitualmente por medio de sgn(x). Se requiere de varias fórmulas para poder definirlas, cada una de las cuales establece el comportamiento de la función en un cierto fragmento o trozo. La definición cambia según el valor de la variable independiente y esta no depende de ningún factor para cambiar. Una función real f (definida a trozos) de una variable real x es correspondiente a una relación cuya definición es concebida por varios conjuntos disjuntos de su dominio los cuales se denominan sub dominios.
Una función es diferenciable a trozos si cada trozo es diferenciable a lo largo de todo el dominio.
Entonces podemos definir la función signo de las siguientes formas, veamos:
1. Si su conjunto de definición, conjunto de partida o dominio de definición es R y su conjunto imagen {-1;0;1}, o sea:
2. A manera de derivada de la función valor absoluto. Su dominio de definición es R – {0} y su conjunto imagen Im={-1;1}
La derivada constituye cómo una función cambia (valor de la variable dependiente) a medida que su entrada también cambia.
3. sgn(x) = 2u(x) – 1 donde u es la función escalón unitario o Heaviside Step (denominada así en honor al matemático ingles Oliver Heaviside) que se define de la siguiente forma:
Propiedades de la función signo
• La función signo es una función impar, o sea
Podemos clasificar a las funciones según su paridad. Las funciones pueden ser pares, impares o no tener paridad. Esto se debe a la paridad de las potencias de las funciones de potencia que integran cada condición:
La función x elevada a n
a- es una función par si n es un entero par,
b- es una función impar si n es un entero impar.
• Todo número real x puede expresarse como producto de su módulo o valor absoluto y la función signo evaluada en x.
El valor absoluto de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo.
• La función signo corresponde a la derivada de la función valor absoluto, (con independencia en cero).
• Es derivable con derivada 0 para todo su dominio con excepción de 0.Pero No es derivable en 0 en el sentido común de derivada.
La función Delta de Dirac es una función generalizada o distribución, fue descubierta y utilizada por primera vez por el físico teórico británico Pail Dirac. Esta función es importante en la teoría de las distribuciones (también se conoce como función generalizada) ya que la derivada de la función signo puede ser dos veces la función delta de Dirac.
Funcíon Racional
Dibujaré un grafico para así dejar claro el concepto:
Función irracional
Es aquella que incluye a una raíz, que puede ser en cualquier orden o un exponente fraccionario.
Dibujaré un grafico para así dejar claro el concepto:
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